苏北七市2021届高三第三次调研考试数学试题

1．设集合A＝{x|log2(x－1)≤1}，B＝{x|≥2(1)}，则A∩B＝ 

A．(－¥，2]           B．[1，2]          C．(1，2]         D．(1，3]

2．已知复数z＝1＋i(2)＋3i，则|z|＝

A．5                 B．             C．           D．3＋

3．设a＝4(1)，b＝log43，c＝4(1)，则

A．c＞b＞a           B．a＞c＞b        C．c＞a＞b        D．a＞b＞c

4．已知点A(1，1)，B(7，5)，将向量AB绕点A逆时针旋转2(π)得到AC，则点C的坐标为

A．(5，－5)          B．(3，－7)        C．(－5，5)       D．(－3，7)

5．“角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到了亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1．若正整数n经过5步演算得到1，则n的取值不可能是

A．32          B．16         C．5           D．4

6．已知双曲线E：2(2)－2(2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为

A．         B．         C．           D．7

7．在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成等差数列，将这n＋2个数的和记为bn，则数列{log3}的前78项的和为

A．3          B．log378          C．5          D．log38

8．已知函数f(x)＝2lnx－x2ex＋1．若存在x0＞0，使f(x0)≥ax0，则a的最大值为

A．0              B．－1            C．1－e              D．1－e2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．在△ABC中，M是BC的中点．若AB＝a，AC＝b，则|AM|＝

A．2(1)|a－b|                        B．2(1)|a＋b|

C．2(1)           D．2(1)

10．在(2x2－x(1))6的展开式中，下列说法正确的是

A．各项系数和为1                      B．第2项的二项式系数为15            

C．含x3的项的系数为－160              D．不存在常数项

11．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo．设计师的灵感来源于曲线C：|x|n＋|y|n＝1．则下列说法正确的是

A．曲线C关于原点成中心对称

B．当n＝－2时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2

C．当n＞0时，曲线C所围成图形的面积的最小值为π

D．当n＞0时，曲线C所围成图形的面积小于4

12．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝3(π)．将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连结BD′．设二面角D′－AC－B的大小为为θ，则下列说法正确的是

A．若四面体D′ABC为正四面体，则θ＝3(π)

B．四面体D′ABC的体积最大值为1

C．四面体D′ABC的表面积最大值为2(＋2)

D．当θ＝3(2π)时，的外接球的半径为3(21)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．若a＝4，b＝6，cosB＝13(5)，则sinA＝       ．

14．为了解某小区居民的家庭年收入x(万元)与年支出y(万元)的关系，随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ŷ＝x＋．已知＝20，＝16，＝0.76．若该小区某家庭的年收入为30万元，则据此估计，该家庭的年支出为_______ 万元．

15．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则直线y＝5(1)x与函数y＝f(x)的图象的交点的个数为       ．

16．若矩形ABCD满足2(5－1)，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片ABCD，已知AD＝2x，AB＝2y，E是CD的中点，EF⊥CD，FG⊥EF，且EF＝FG＝x，沿EF，FG剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型．若连结这个几何模型的各个顶点，便得到一个正     面体；若y＝2，则该正多面体的表面积为         ．

(本题第一空2分，第二空3分)

                  (图1)                              (图2)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(10分)

设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝35，且a1，a4－1，a7成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an，求数列{bn}的前2n项的和T2n．

18．(12分)

已知函数＜φ＜0(π)同时满足下列3个条件中的2个．3个条件依次是：①f(x)的图象关于点，0(π)对称；②当12(5π)时，f(x)取得最大值；③0是函数2(3)的一个零点．

(1)试写出满足题意的2个条件的序号，并说明理由；

(2)求函数的值域．

19．(12分)

面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm)．

(1)现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124mm的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124mm的零件的个数，求ξ的概率分布及数学期望E(ξ)；

(2)若新机床生产的零件直径X ~ N(120，4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124mm的概率．

参考数据：若X ~ N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9974，0.9772510≈0.7944，0.954510≈0.6277．

20．(12分)

如图，A是以BD为直径的半圆O上一点，平面BCD⊥平面ABD，BC⊥BD．

(1)求证：AD⊥平面ABC；

(2)若BD＝2BC＝2，AD＝2AB，求二面角A－CD－B的余弦值．

21．(12分)

已知圆M：2(5)与抛物线E：相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB//CD．

(1)若4，求实数m的值；

(2)设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值．

22．(12分)

已知函数．

(1)若3(π)是f(x)的一个极值点，试讨论f(x)在区间2(π)上的单调性；

(2) 设－2≤a≤2，证明：当x≠0时，xf(x)＜0．