南通市基地学校2022届高三第四次大联考数学试题及参考解析

2022届高三基地学校第四次大联考数   学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A＝{x|x－1(x＋4)＞0}，B＝{－2，－1，1，2}，则

A．{－1，1}    B．{－2，－1}    C．{－2，－1，1}    D．{－2，－1，1，2}

2．已知复数z满足(1－i)z＝1＋2i，则z在复平面内对应的点所在的象限为

A．第一象限       B．第二象限        C．第三象限      D．第四象限

3．设F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，经过点F且斜率为1的直线与C交于A，B两点．若△OAB(O为坐标原点)的面积为3，则p＝

A．             B．             C．1             D．2

4．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何?”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人?”在上述问题中，获得赠与的人数为

A．191             B．193            C．195           D．197

5．已知5(5)，则6(5π)

A．5(3)            B．5(1)            C．5(2)             D．5(3)

6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)ex在x＝a处取极小值，且f(x)的极大值为4，则b＝

A．－1            B．2              C．－3           D．4

7．已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面A1B1C1D1的边界上一点．若→的最小值为2(1)，则该正四棱台的体积为

A．2(7)              B．3              C．2(5)             D．1

8．北京冬奥会火种台(图1)以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，浮高50cm，上口直径为3(100)cm，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为

A．2              B．5(13)              C．4(7)             D．3(7)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为x(x≠0)，标准差为s．另一组样本数据xn＋1，xn＋2，…，x2n的平均数为3x，标准差为s．两组数据合成一组新数据x1，x2，…，xn，xn＋1，xn＋2，…，x2n，新数据的平均数为y，标准差为s′，则

A．y＞2x           B．y＝2x           C．s′＞s            D．s′＝s

10．已知P是圆O：x2＋y2＝4上的动点，直线l1：xcosθ＋ysinθ＝4与l2：xsinθ－ycosθ＝1交于点Q，则

A．l1⊥l2                             B．直线l1与圆O相切

C．直线l2与圆O截得弦长为        D．|PQ|长最大值为

11．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边为1，侧棱长为a，M是CC1的中点，则

A．任意a＞0，A1M⊥BD

B．存在a＞0，直线A1C1与直线BM相交

C．平面A1BM与底面A1B1C1D1交线长为定值2(5)

D．当a＝2时，三棱锥B1－A1BM外接球表面积为3π

12．已知定义在R上的函数f′(x)的图象连续不间断，当x≥0时，f(1＋x)＝2f(1－x)，且当x＞0时，f′(1＋x)＋f′(1－x)＜0，则下列说法正确的是

A．f(1)＝0

B．f(x)在(－∞，1]上单调递减

C．若x1＜x2，f(x1)＜f(x2)，则x1＋x2＜2

D．若x1，x2是g(x)＝f(x)－cosπx的两个零点，且x1＜x2，则xx

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某校举行“三人制”校园篮球比赛，共有8支代表队报名参加比赛，比赛规则是先抽签随机分成两组，每组4支队伍．则甲、乙两支队伍分在不同小组的概率为         ．

14．已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)，试写出一个满足条件①②③的ω＝         ．①ω＞1；(2)6(π)；③f(π)＝0．

15．若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为         ．

16．德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为3(1)的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……．经过n次操作后，共删去       个小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过1000(1)，则至少需要操作      次．(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(10分)

已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝2b1＝2，a3b3＝2a7b5＝1．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝，求数列的前10项的和S10．

注：[x]表示不超过x的最大整数．

18．(12分)

某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．

已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格：

(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关；

(2)该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数X的概率分布列和数学期望．        附：

19．(12分)

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，a＝1，bcosA＋cosB＝2b．

(1)证明：c＝2b；

(2)求△ABC的面积的最大值．

20．(12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝4，△PAD是正三角形，PB＝BC，E是棱PD的中点．(1)证明：面PAD⊥平面ABCD；

(2)若二面角E－AC－D的大小为45°，求△PAD的边长．

21．(12分)

已知椭圆C：2()(a＞b＞0)的离心率为5(5)，A1，A2是C的上、下顶点，且|A1A2|＝2．过点P(0，2)的直线l交C于B，D两点(异于A1，A2)，直线A1B与A2D交于点Q．(1)求C的方程；

(2)证明：点Q的纵坐标为定值．

22．(12分)

已知函数f(x)＝xa－alnx－b(a≠0)．

(1)求函数f(x)的单调区间

(2)若a＞0，b＞1，证明：f(x)存在两个零点x1，x2，且x1a＋x2a＞2．